大家好，小良来为大家解答以上问题。黎曼猜想被证明了吗，黎曼曲面很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
1、黎曼曲面的几何性质是最好的，它们也为推广到其他曲线、流形或代数簇提供了直观的理解和动机。黎曼-罗奇定理就是这种影响的最好例子。
2、x是豪斯多夫空间。从开子集ux到c的子集的同胚称为图。如果g-1和g-1的映射在定义域上是全纯的，则称两个有重叠区域的图f和g是相容的。a是一组相容的图，每个x中的x都在某个f的定义域内，所以称为图集。当我们给x一个地图集a时，我们称(x，a)为黎曼曲面如果有地图集，我们简称x为黎曼曲面。
3、不同的图谱可以给出x上基本相同的黎曼曲面结构；为了避免这种歧义，我们有时要求x是最大的，也就是说，它不是任何较大图谱的子集。根据zorn引理，每个图谱a都包含在一个唯一的最大图谱中。
4、复平面c大概是最普通的黎曼曲面了映射f(z)=z(恒等式映射)定义了c的一个图，而是c的一个图集.映射g(z)=z*(共轭)映射也定义了c的一个图和c的一个图集.图f和g是不相容的，所以它们各自给c一个黎曼曲面结构.实际上，给定黎曼曲面x及其图谱a，共轭图谱b={f*:fa}总是与a不相容，所以给x一个不同的黎曼曲面结构。
5、同样，每个复平面的开集自然可以看作是黎曼曲面。更一般地说，黎曼曲面的每个开集都是黎曼曲面
6、设s=c{}且设f(z)=z其中z属于s\{}且设g(z)=1/z其中z属于s\且定义1/为0。那么f和g是图，它们是相容的，{f，g}是s图集，这使得sa黎曼曲面这个特殊的曲面被称为黎曼球面，因为它可以解释为把一个复平面包在一个球面上。与复杂的平面不同，它是一个紧凑的空间。
7、黎曼曲面也用于埃舍尔的《画廊》
8、黎曼曲面可视为等价于定义在复数上的非奇异代数曲线。解析连续性给出了非紧黎曼曲面的重要例子。
9、两个黎曼曲面m和n之间的函数f:mn称为全纯函数。如果对于图集合m中的每个图g和图集合n中的每个图h，映射hofog-1在所有定义的地方都是全纯的(作为从c到c的函数)。两个全纯函数的合成是全纯的。两个黎曼曲面m和n称为共形等价(或共形等价)，如果从m到n有一个双射全纯函数且其逆是全纯的(最后一个条件自动满足所以可以省略)。两个共形等效黎曼曲面在所有实际应用中都是相同的。
10、每一个单连通黎曼曲面都共形等价于c或黎曼球面c{}或开圆盘{zc:|z|1}。这个命题叫做统一定理。
11、每一个连通的黎曼曲面都可以转化为曲率为-1，0或1的完备实黎曼流形。这种黎曼结构除了度量的标度外，是独一无二的。曲率为-1的黎曼曲面称为双曲线；光盘就是一个经典的例子。曲率为0的黎曼曲面称为抛物线；c是典型的抛物线黎曼曲面最后，曲率为1的黎曼曲面称为椭圆；李球c{}就是这样一个例子。
12、对于每个闭抛物黎曼曲面，基群同构于二阶格群，所以曲面可以构造为c/，其中c是复平面，是格群。伴随集的代表集称为基本场。
13、类似地，对于每个双曲黎曼曲面，基本群同构于fuchsian群，因此曲面可以由fuchsian模型h/构造，其中h是上半平面，是fuchsian群。h/陪集的代表是自由正则集，可以作为度量基本多边形。
14、当双曲曲面是紧的时，曲面的总面积是4\pi(g-1)，其中g是亏格)；表面的；面积可以通过将高斯-博内定理应用于基本多边形的面积来计算。
15、我们前面提到过，黎曼曲面，像所有复流形一样，像实流形一样是可定向的。因为复图f和g有变换函数h=f(g-1(z))，所以我们可以认为h是r2开集到r2的映射，z点的雅可比矩阵是复数h’(z)相乘运算给出的实线性变换。但行列式乘以复数等于||2，所以h的雅可比矩阵有正的行列式值。因此，复图谱是可定向图谱。
16、黎曼是第一个研究黎曼曲面的人，黎曼曲面就是以他的名字命名的。
